פתרון תרגיל 6 ממשוואות למבנים אלגברה למדעי ההוראה. 16 במאי 2010 נסמן את מחלקת הצמידות של איבר בחבורה G על ידי } g.[] { y : g G, y g כעת נניח כי [y] [] עבור שני איברים, y G ונוכיח כי [y].[] מאחר והחיתוך של שתי מחלקות הצמידות אינו ריק, קיים [y] h [] ולכן קיימים g, g y G כך ש h. g נשים לב כי אם נכפיל את h משני אגפיו ב g ו 1 g נקבל g gy yg y. g g g hg g g g g y g נזכור כי g gy נסמן כעת G 1 yg y g g g gy ונקבל ש g yg ולכן g G כלומר קיים z [] כעת נניח כי.y [] בצורה דומה נראה כי. [y] כך ש g z g 1 נשתמש באיבר g בעזרתו מצאנו את הצמידות בין ו y ונקבל כי ygg.z g g כלומר האיבר gg g מצמיד את z עם.y קיבלנו כי [y] z ולכן [y] []. בצורה דומה נראה כי [] [y] ולכן [y] []. כלומר אם שתי מחלקות צמידות אינן זרות הן בהכרח זהות. ברור לחלוטין כי כל איבר G נמצא במחלקת הצמידות שלו מאחר ואם ניקח g e נקבל כי [] g g e e ee ולכן כל איבר נמצא במחלקת הצמידות של עצמו. קיבלנו כי מחלקות הצמידות מחלקות את כל אברי החבורה לתתי קבוצות זרות של החבורה. 2 G 2.1 חבורה יהי G ונגדיר העתקה ϕ : G G על ידי ϕ(g g נראה כי ההעתקה מוגדרת היטב, נניח כי g h אזי ברור כי ϕ(g g h ϕ(h 1
נראה כי ההעתקה היא חד חד ערכית, נניח כי ϕ(h ϕ(g אזי g ϕ(g ϕ(h h נכפיל את המשוואה האחרונה בעזרת ו 1 משמאל ומימין בהתאמה ונקבל g g ϕ(g ϕ(h h h נראה כי ההעתקה היא על, נניח כי g G נבחר בתור מקור את 1 g ונקבל שאכן ϕ(g g g כעת נראה כי ההעתקה שומרת על פעולת הכפל בחבורה, יהיו,g h G אזי ϕ(gh gh geh g h ϕ(gϕ(h כעת נראה כי ההעתקה שומרת על פעולת ההופכי, יהי g G אזי ϕ(g g ( g (ϕ(g וקיבלנו כי ההעתקה היא אכן איזומורפיזם של חבורות. מאחר וזו העתקה מהחבורה לעצמה היא אוטומורפיזם. F 2.2 שדה בסעיף הקודם הראנו שכאשר F G, ו 0 (זהו תנאי חסר בשאלה ϕ היא אוטומורפיזם של החבורה הכפלית של השדה (ללא האפס, נותר לבדוק שϕ שומרת על פעולת החיבור, יהיו g, h F ϕ(g + h (g + h (g + h g + h ϕ(g + ϕ(h משמירת פעולת החיבור קל להראות ש 0 (0ϕ ואף איבר פרט לאיבר ה 0 לא עובר ל 0 מאחר ו ϕ חד חד ערכית על החבורה הכפלית של השדה (ש 0 אינו בה. לכן ϕ ממשיכה להיות חד חד ערכית ועל מהשדה לעצמו, שומרת את פעולות הכפל ההופכי והחיבור ולכן אוטומורפיזם של שדות. 3 נחשב את ההצמדה: (237(6(261(35((237(6 (237(6(261(35(732(6 (31(2(57 (13(75 2
לפי הטענה בשאלה 3 נחלק את כל התמורות לפי המבנים שלהם למחזורים זרים 1. מכפלה של מחזורים, באורך 1 כל 1: רק איבר היחידה: [id] [id] {id} 2. מכפלה של 3 מחזורים, 1 באורך 2 ו 2 באורך 1 (אין אופציה אחרת: [(3(2(1] כל איבר במחלקת הצמידות הזו הופכי לעצמו כמו כן לכל בחירה של 2 איברים מתוך ( 2 לכן, 2 2! 2!2! יש שתי תמורות במחלקת הצמידות הזו סך הכל 6 [(1(2(3] {(12, (13, (1, (23, (2, (3} 3. מכפלה של 2 מחזורים, 1 באורך 1 ו 1 באורך 3: [(23(1] כל איבר במחלקת הצמידות הזה הופכי של המחזור ההפוך שלו לכן לכל בחירה של איבר 1 מתוך (שלא יהיה ( 2 לכן 1 2! במחזור יש שני מחזורים סך הכל 8 1!3! [(1(23] {(23, (32, (13, (31, (12, (21, (123, (321}. מכפלה של 2 מחזורים, 2 באורך 2: [(3(12] כל איבר במחלקת הצמידות הזו הופכי ( לעצמו לכן לכל בחירה של 2 איברים מתוך נקבל תמורה אחת בלבד סך הכל 2 3 [(12(3] {(12(3, (13(2, (1(23} 5. מחזור אחד באורך : [123] לפי החישובים הקודמים ומאחר וזו מחלקת הצמידות האחרונה נותרו 6 איברים סך הכל. לכל איבר יש את האיבר ההופכי לו (שהוא פשוט המחזור ההפוך כלומר יש למצוא 3 מחזורים שאינם הופכיים אחד לשני באורך. שלושת האיברים השונים שמצאנו שאינם הופכיים אחד של השני יהיו הראשון השלישי והחמישי. השאר יהיו ההופכיים של הקודם להם. [(123] {(123, (321, (213, (312, (132, (231} 5 G SL(2, F 2 5.1 נשים לב שעבור השדה F 2 דטרמיננטה של מטריצה שונה מ 0 רק אם היא שווה ל 1 לכן 2.GL(2, F 2 SL(2, F בתרגיל הקודם הראנו שהחבורה G היא {( ( ( ( ( ( } 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 G,,,,, 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 3
האיבר הראשון הוא כמובן איבר היחידה, שני האיברים האחרונים ברשימה הם מסדר 3 ושלושת הנותרים הם מסדר 2. נתבונן בתת חבורה שנוצרת מהאיברים מסדר 3 {( ( ( } 1 0 0 1 1 1 H,, 0 1 1 1 1 0 G G 6 3 2 H 2 [G : H] ולכן H זו תת חבורה מאינדקס 2 מאחר ו 2 מתרגיל קודם נקבל ש H תת חבורה נורמלית של G. מאחר ו H לא טריויאלית קיבלנו כי G לא חבורה פשוטה. G SL(2, F 3 5.2 ( a 0 m כאשר a איבר בשדה. מטריצה סקלרית מגודל 2 על 2 היא מטריצה מהסוג נשים לב שמטריצה סקלרית מתחלפת עם כל מטריצה מגודל 2 על 2: ( ( ( ( ( ( a 0 b c ab ab ba ba b c a 0 ad ae da ea לכן נתבונן בתת הקבוצה של אוסף המטריצות הסקלריות עם דטרמיננטה 1 (נשים לב כי ב F 3 מתקיים 1 2 2 2 1 בלבד כלומר {( ( } 1 0 2 0 H, G 0 1 0 2 ( 2 ( 2 0 1 0, וגודלה 2 לכן היא לא טריויאלית. זו תת חבורה של G מאחר ו 0 2 0 1 כמו כן, לכל מטריצה ב G ולכל מטריצה סקלרית מתקיים ( b c ( a 0 ( 1 0 0 1 ( b c ( a 0 ( b c ( a 0 ( b c H ( a 0 לכן H תת חבורה לא טרויאלית ונורמלית ב G. לכן G לא חבורה פשוטה. תהי G חבורה ציקלית ו g G יוצר שלה. H תת חבורה לא טריויאלית של G (אם טריויאלית אז ברור שציקלית. לכל איבר {e} /G יש מספר טבעי n קטן ביותר כך ש g n או (g n נגדיר מספר זה כדרגה של.deg( : כמו כן נסמן 0 < n 0 min {deg( : H/ {e}} 6 טענה 6.1 את החבורה H יוצר האיבר g n0
הוכחה: נניח כי h, H בלי הגבלת הכלליות deg(h h g (אחרת נבחר את 1 h. נחלק את deg(h ב n 0 עם שארית ונקבל deg(h qn 0 + r כאשר r < n 0.0 קיבלנו כי.h g deg(h g qn0+r (g n0 q g r נשים לב כי h H וגם g n0 H ולכן גם g r ((g n0 q h H ולכן 0 r אחרת n 0 > r n 0 שמהווה סתירה. קיבלנו שלכל h ((g no q נקבל כי h ההופכי של (עבור h (g no q כך ש q קיים h H ((g no q ((g n0 q כלומר g n0 יוצר את H ולכן H חבורה צקלית. תהי G חבורה מגודל n. נוכיח את שני הסעיפים של התרגיל (כמעט ביחד, למעשה נוכיח את השני לפני הראשון, נגדיר את הסדר של איבר כל שהוא g על ידי ord(g min {m N : g m e} (הסדר יכול גם להיות במקרה שהחבורה אינסופית. ברור שאם החבורה סופית, לכל איבר יש סדר סופי כל שהוא (אחרת נקבל איברים שנוצרים מחזקות של איבר אחד בלבד. באותו אופן ניתן להראות גם מדוע הסדר של איבר כלשהוא חייב להיות קטן מגודל החבורה. קיבלנו כי ord(g n לכל איבר g בחבורה. יהי g איבר כל שהוא ב G. נתבונן בתת החבורה הנוצרת על ידו: {Z H. g} m : m מאחר והסדר של g סופי ניתן לרשום את H כ H {e, g, g 2,..., g ord(g} ולכן גודל החבורה H הוא בדיוק ord(g. H ord(g 1 + 1 לפי משפט לגראנז' לכל תת חבורה H,H מחלק את n מאחר ו H n G [G : H] ונקבל כי ord(g מחלק את n וגם g n g [G:H] H (g H [G:H] (g ord(g [G:H] e [G:H] e 7 5